Question

【题目】已知函数.

（1）证明：当时，；

（2）若有极大值，求的取值范围；

（3）若在处取极大值，证明：.

Answer 1

【答案】（1）见证明 （2）（3）见证明

【解析】

（1）当时，，，研究函数的单调性与最值即可证明不等式；

（2）由题设得.由有极大值得有解，且.利用极大值定义即可建立a的不等关系；

（3）由（2）知：当时，有唯一的极大值点, 且，故，结合函数的单调性即可证明.

（1）证明：当时，，，

令，则.

∴当时，，单调递减；当时，，单调递增.

∴当时，.

∴当时，，在上单调递增.

∴当时，，即.

（2）解：由题设得.由有极大值得有解，且.

令，则.由得.

∴当时，，单调递减；当时，，单调递增.

∴.

当，即时，，即，此时，在上单调递增，无极值；

当，即时，

∴，.

由（1）知：，即.

∴存在，，使.

∴当时，，即单调递增；当时，，

即单调递减；当时，，即单调递增.

∴是唯一的极大值点.

综上所述，所求的取值范围为.

（3）证明：由（2）知：当时，有唯一的极大值点,

且，故，

由（2）知：.

当时，，由（2）知：在上单调递增.

∴当时，，即.

∴当时，.

综上所述，.