题目内容
如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、H分别是棱BB1、CC1、DD1的中点．（Ⅰ）求证：BH∥平面A1EFD1；
（Ⅱ）求直线AF与平面A1EFD1所成的角的正弦值．
【答案】分析：（Ⅰ）由已知容易证明BED1H为平行四边形，从而可得BH∥ED1，根据直线与平面平行的判定定理可证BH∥A1EFD1
（Ⅱ）过A作AG⊥A1E，垂足为G．由A1D1⊥平面A1ABB1可得A1D1⊥AG从而可证得AG⊥平面A1EFD1．则∠AFG为所求的角，从而可求AF与平面A1EFD1所成的角的正弦值
解答：解：
（Ⅰ）证明：连接D1E，
，BB1=DD1
∴BE∥HD1，BE=HD1，即BED1H为平行四边形
∴BH∥ED1
∵BH?平面A1EFD1，ED1?A1EFD1
∴BH∥A1EFD1（7分）
（Ⅱ）过A作AG⊥A1E，垂足为G．
∵A1D1⊥平面A1ABB1，AG⊆A1ABB1∴A1D1⊥AG，
EA1∩A1D1=A1∴AG⊥平面A1EFD1．
连接FG，则∠AFG为所求的角．（9分）
在△AA1G中，AG•EA1=AA1•AB
∴
连接AC则
∴
∴
∴F与平面A1EFD1所成的角的正弦值为
（14分）
点评：直线与平面平行的判定定理是证明直线与平面平行最基本的方法，但其中的关键是要在平面内找出与已知直线平行的直线，体现了线线平行与线面平行的相互转化；而线面所成角的求解的关键是先要找出角．
（Ⅱ）过A作AG⊥A1E，垂足为G．由A1D1⊥平面A1ABB1可得A1D1⊥AG从而可证得AG⊥平面A1EFD1．则∠AFG为所求的角，从而可求AF与平面A1EFD1所成的角的正弦值
解答：解：
（Ⅰ）证明：连接D1E，，BB1=DD1∴BE∥HD1，BE=HD1，即BED1H为平行四边形
∴BH∥ED1
∵BH?平面A1EFD1，ED1?A1EFD1
∴BH∥A1EFD1（7分）
（Ⅱ）过A作AG⊥A1E，垂足为G．
∵A1D1⊥平面A1ABB1，AG⊆A1ABB1∴A1D1⊥AG，
EA1∩A1D1=A1∴AG⊥平面A1EFD1．
连接FG，则∠AFG为所求的角．（9分）
在△AA1G中，AG•EA1=AA1•AB
∴
连接AC则
∴∴
∴F与平面A1EFD1所成的角的正弦值为
（14分）点评：直线与平面平行的判定定理是证明直线与平面平行最基本的方法，但其中的关键是要在平面内找出与已知直线平行的直线，体现了线线平行与线面平行的相互转化；而线面所成角的求解的关键是先要找出角．
练习册系列答案
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如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、H分别是棱BB1、CC1、DD1的中点．
，又PN∥A1D1，
