Question

如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、H分别是棱BB₁、CC₁、DD₁的中点．
（Ⅰ）求证：BH∥平面A₁EFD₁；
（Ⅱ）求直线AF与平面A₁EFD₁所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知容易证明BED₁H为平行四边形，从而可得BH∥ED₁，根据直线与平面平行的判定定理可证BH∥A₁EFD₁
（Ⅱ）过A作AG⊥A₁E，垂足为G．由A₁D₁⊥平面A₁ABB₁可得A₁D₁⊥AG从而可证得AG⊥平面A₁EFD₁．则∠AFG为所求的角，从而可求AF与平面A₁EFD₁所成的角的正弦值

解答：解：（Ⅰ）证明：连接D₁E，BE=

1

2

BB1，HD1=

1

2

DD1，BB1∥DD1，BB₁=DD₁
∴BE∥HD₁，BE=HD₁，即BED₁H为平行四边形
∴BH∥ED₁
∵BH?平面A₁EFD₁，ED₁?A₁EFD₁
∴BH∥A₁EFD₁（7分）
（Ⅱ）过A作AG⊥A₁E，垂足为G．
∵A₁D₁⊥平面A₁ABB₁，AG⊆A₁ABB₁∴A₁D₁⊥AG，
EA₁∩A₁D₁=A₁∴AG⊥平面A₁EFD₁．
连接FG，则∠AFG为所求的角．（9分）
在△AA₁G中，AG•EA₁=AA₁•AB
∴AG=

2

5

a=

2 5

5

a
连接AC则AC=

2

a∴AF=

2a2+ a2 4

=

3a

2

∴sin∠AFG=

AG

AF

=

4 5

15

∴F与平面A₁EFD₁所成的角的正弦值为

4 5

15

（14分）

点评：直线与平面平行的判定定理是证明直线与平面平行最基本的方法，但其中的关键是要在平面内找出与已知直线平行的直线，体现了线线平行与线面平行的相互转化；而线面所成角的求解的关键是先要找出角．