Question

如图所示，在棱长为a的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是B₁C₁和C₁D₁的中点.

（1）求证：B₁D₁∥平面CMN；

（2）求点B₁到平面CMN的距离.

Answer 1

解法一：（1）证明：∵M、N为B₁C₁和C₁D₁的中点，∴MN∥B₁D₁.?

∵MN平面CMN，∴B₁D₁∥面CMN.?

（2）连结B₁N、BM.?

设B₁到CMN的距离为d.?

∵CC₁⊥面B₁MN，?

∴V_B1—CMN?=V_C—B1MN .?

∴S_△CMN·d=S_△B1MN·CC₁.?

∵MN B₁D₁,?

∴S_△B1MN =S_△B1C1D1=a².?

∵CC₁⊥C₁M,∴CM=a.?

同理，CN=a,MN=a,连结CO₁.?

∵O₁为MN中点，∴CO₁⊥MN.?

∴CO₁=a.?

∴S_△CMN?=CO₁·MN=a².?

∴a²·a=a²·d.∴d=.?

解法二：（1）证明：以D为原点，建立空间直角坐标系.?

∴D₁（0,0,a),B₁(a,a,a),C₁(0,a,a).?

∵M为B₁C₁中点，∴M（,a,a).?

同理，N（0,,a).?

∴=(-,-,0), =(a,a,0).?

∴=-.

∴与共线.

∴B₁D₁∥面CMN.?

（2）作B₁在面CMN上的射影E，设E（x,y,z).??

∴B₁E⊥面MNC.?

∴=(x-a,y-a,z-a).?

∴B₁E⊥MN,B₁E⊥CM.?

∵=(-,-,0), =(,0,a),?

∵E在CO₁上，∴∥.

∴?

∵O₁（a,a,a),?

∴=(a, a,a).?

∴y=a.∴||=.