Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+2bx2+cx+2在x=1处取得极值

4

3

．
（1）求b、c的值；
（2）若关于x的方程f（x）-t=0在区间[-3，

3

2

]上有实根，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用函数f(x)=

1

3

x3+2bx2+cx+2在x=1处取得极值

4

3

，建立方程组，即可求得b、c的值；
（2）关于x的方程f（x）-t=0在区间[-3，

3

2

]上有实根，即求数f（x）在区间[-3，

3

2

]上的值域．由（1）得：f(x)=

1

3

x3-x+2，f′（x）=x²-1=（x+1）（x-1），确定函数的单调区间，进而可得函数f（x）在区间[-3，

3

2

]上的值域为[-4，

8

3

]，由此可得．

解答：解：（1）求导函数，可得f′（x）=x²+4bx+c
∵函数f(x)=

1

3

x3+2bx2+cx+2在x=1处取得极值

4

3

．
∴

f′(1)=1+2b+c=0 f(1)= 7 3 +2b+c= 4 3

，∴

b=0 c=-1

（2）由（1）得：f(x)=

1

3

x3-x+2，f′（x）=x²-1=（x+1）（x-1）
令f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞1；令f′（x）＜0，可得-1＜x＜1；
∴函数的单调增区间是（-∞，-1），（1，+∞）；单调减区间是（-1，1）
∴函数在x=-1处，取得极大值为f(-1)=

8

3

；函数在x=1处，取得极小值为f(1)=

4

3

∵f(-3)=-4，f(

3

2

)=

13

8

∴函数f（x）在区间[-3，

3

2

]上的值域为[-4，

8

3

]
关于x的方程f（x）-t=0在区间[-3，

3

2

]上有实根，则实数t的取值范围是[-4，

8

3

]．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与最值，考查函数的单调性，解题的关键是求导函数，确定函数的单调性．