Question

已知双曲线的离心率
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）把点P代入双曲线方程，求得a和b的关系，进而根据离心率联立方程求得a和b，双曲线方程可得．
（II）直线与双曲线方程联立消去y，根据判别式大于0，求得k的范围．设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），根据韦达定理可求得x．_A+x_B和x_Ax_B的表达式，根据，求得k的另一个范围，最后综合可得答案．
解答：解：（I）由已知，
∵，
∴
又c²=a²+b²，
可解得a²=3，b²=1．
所求双曲线C的方程为
（II）将
由直线l与双曲线交于不同的两点得

即①
，


=，

可得．②
由①，②得．
故k的取值范围为．
点评：本题主要考查了双曲线的标准方程和平面向量数量积得运算．考查了学生解决问题的能力和基本的运算的能力．