Question

已知双曲线的离心率为2，F₁、F₂是左右焦点，P为双曲线上一点，且∠F₁PF₂=60°，S△PF1F2=12

3

．该双曲线的标准方程为

x2

4

-

y2

12

=1

．

Answer 1

分析：设出双曲线方程，利用双曲线的定义列出一方程，在△F₁PF₂中利用余弦定理得到一方程，利用三角形的面积公式得一方程，利用双曲线的离心率公式得一方程，解方程组求出双曲线的方程．

解答：解：不妨设点P在双曲线的右支上，
设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，|PF₁|=m，|PF₂|=n则有
m-n=2a①
∠F₁PF₂=60°
由余弦定理得
m²+n²-2mncos60°=4c²②
∵S_△PF1F2=12

3

∴

1

2

mnsin60°=12

3

③
∵离心率为2
∴

c

a

=2④
解①②③④a=2，c=4
∴b²=c²-a²=12
双曲线的方程为

x2

4

-

y2

12

=1．
故答案为：

x2

4

-

y2

12

=1．

点评：求圆锥曲线的方程问题，一般利用的方法是待定系数法；解圆锥曲线上的一点与两个焦点构成的焦点三角形问题，一般考虑余弦定理及三角形的面积公式．