Question

已知等比数列{a_n}中，a₂=32，a8=

1

2

，a_n+1＜a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求T_n的最大值及相应的n值．

Answer 1

（1）q6=

a8

a2

=

1 2

32

=

1

64

，a_n+1＜a_n，
所以：q=

1

2

．
以a1=

a2

q

=

32

1 2

=64为首项．
所以，通项公式为：an=64•(

1

2

)n-1=27-n(n∈N*)．
（2）设b_n=log₂a_n，则b_n=log₂2^7-n=7-n．
所以{b_n}是首项为6，公差为-1的等差数列．
Tn=6n+

n(n-1)

2

(-1)=-

1

2

n2+

13

2

n=-

1

2

(n-

13

2

)2+

169

8

．
因为n是自然数，所以n=6或n=7时，T_n最大，其最值是T₆=T₇=21