Question

已知定义在上的函数满足：，，且对于任意实数，总有

成立.

（I）求的值，并证明函数为偶函数；

（II）定义数列：，求证：为等比数列；

（III）若对于任意非零实数，总有.设有理数满足，判断和的大小关系，并证明你的结论.

Answer 1

解：(I) 令

，.                                                       

令，即

，对任意的实数总成立。为偶函数.                   

   （II）令，得 .

     .

 .

.                                                

令，得.

.                                               

   是以为首项，以为公比的等比数列.                                              

   （III）结论：.

证明：设

∵时，,

∴，即.

∴对于，总有成立.

   ∴对于总有成立.

∴对于，若，则有成立.

∵，所以可设，其中是非负整数，都是正整数,则.

令，，则.

∵，∴，∴,即.

∵函数为偶函数，.∴.

∴.