Question

22.设双曲线C:－y²=1（a＞0）与直线l: x+y=1相交于两个不同的点A、B.

（Ⅰ）求双曲线C的离心率e的取值范围；

（Ⅱ）设直线l与y轴的交点为P，且=，求a的值.

Answer 1

22.本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.

解：（Ⅰ）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组

有两个不同的实数解.消去y并整理得

（1－a²）x²+2a²x－2a²=0.                                                                     ①

所以

解得0＜a＜且a≠1.

双曲线的离心率e==,

∵0＜a＜且a≠1，

∴e＞且e≠,

即离心率e的取值范围为（，）∪（，+∞）.

（Ⅱ）设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,P（0,1）,

∵=,

∴（x₁,y₁－1）= （x₂,y₂－1）.

由此得x₁=x₂,

由于x₁，x₂都是方程①的根，且1－a²≠0,

所以x₂=－,x=－.

消去x₂，得－=,

由a＞0，所以a=.