题目内容

设双曲线C： $数学公式$ -y²=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q．
（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且 $数学公式$ • $数学公式$ =1，求点T的坐标；
（2）求直线A₁P与直线A₂Q的交点M的轨迹E的方程；
（3）过点F（1，0）作直线l与（2）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设 $数学公式$ =λ• $数学公式$ ，若λ∈[-2，-1]，求| $数学公式$ + $数学公式$ |（T为（1）中的点）的取值范围．

解：（1）由题，得A₁（- $\text{[math]}$ ，0），A₂（ $\text{[math]}$ ，0），
设P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ =1，可得 $\text{[math]}$ …①
又P（x₀，y₀）在双曲线上，则 $\text{[math]}$ …②
联立①、②，解得x₀=±2
由题意，x₀＞0，∴x₀=2
∴点T的坐标为（2，0）
（2）设直线A₁P与直线A₂Q的交点M的坐标为（x，y）
由A₁、P、M三点共线，得 $\text{[math]}$ …③
由A₂、Q、M三点共线，得 $\text{[math]}$ …④
联立③、④，解得x₀= $\text{[math]}$ ，y₀= $\text{[math]}$
∵P（x₀，y₀）在双曲线上，∴ $\text{[math]}$
∴轨迹E的方程为 $\text{[math]}$ （x≠0，y≠0）
（3）由题意直线l的斜率不为0．故可设直线l的方程为x=ky+1代入 $\text{[math]}$ 中，得（k²+2）y²+2ky-1=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由根与系数的关系，得y₁+y₂= $\text{[math]}$ …⑤y₁y₂= $\text{[math]}$ …⑥
∵ $\text{[math]}$ ，∴有 $\text{[math]}$ （λ＜0）
将⑤式平方除以⑥式，得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
由λ∈[-2，-1]，可得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ =（x₁+x₂-4，y₁+y₂）
∴ $\text{[math]}$ =（x₁+x₂-4）²+（y₁+y₂）²=16- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
令t= $\text{[math]}$ ，∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，即t∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]
∴ $\text{[math]}$ =f（t）=8t²-28t+16=8（t- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$
而t∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，∴f（t）∈[4， $\text{[math]}$ ]
∴| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |∈[2， $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）设出P、Q的坐标，求得向量的坐标，利用 $\text{[math]}$ =1，P（x₀，y₀）在双曲线上，即可求得结论；
（2）利用三点共线建立方程，利用P（x₀，y₀）在双曲线上，即可求得轨迹方程；
（3）用坐标表示 $\text{[math]}$ ，利用韦达定理，求得模长，从而可得函数关系式，进而可求其范围．
点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．