Question

直二面角A-BD-C中，M、N分别是线段AB、CD上的点（不包括端点），且∠ADB=∠DBC=90°，AD=DB=BC=1，AM=DN，AM=x，MN=y．
（1）若MN与平面BCD所成的角为45°，求x的值；
（2）求函数y=f（x）的解析式及定义域、值域．

Answer 1

分析：（1）作ME⊥BD于E，则ME⊥平面BCD，然后根据比例关系可得EN∥BC，然后根据ME=EN建立等式关系，求出x的值即可；
（2）先利用勾股定理求出函数f（x）的解析式，然后根据偶次根式的意义求出定义域，根据二次函数的性质求出函数的值域．

解答：解：（1）作ME⊥BD于E，则ME⊥平面BCD，∴∠MNE=45°，

DE

EB

=

AM

MB

=

DN

NC

⇒EN∥BC．ME=

2

2

(

2

-x)=1-

2

2

x，EN=

2

2

x，由ME=EN⇒x=

2

2

．
（2）函数解析式y=f（x）=

EM2+EN2

=

x2- 2 x+1

=

(x- 2 2 )2+ 1 2

，定义域( 0 ， 

2

 )，值域[ 

2

2

 ， 1 )．

点评：本题主要考查了立体几何，解题的关键是将空间问题转化成平面问题，属于中档题．