Question

  已知动点P到点A（-2,0）与点B（2,0）的斜率之积为，点P的轨迹为曲线C。

(Ⅰ)求曲线C的方程；

(Ⅱ)若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点，直线BM与椭圆的交点为D。求线段MN长度的最小值。

 

Answer 1

解：（Ⅰ）设，由题意知  ，即

化简得曲线C方程为：

（Ⅱ）思路一

满足题意的直线的斜率显然存在且不为零，设其方程为，

由（Ⅰ）知，所以，设直线方程为，

当时得点坐标为，易求点坐标为

所以=，

当且仅当时，线段MN的长度有最小值.

思路二：满足题意的直线的斜率显然存在且不为零，设其方程为，

联立方程：

消元得，

设，，

由韦达定理得：，

所以，代入直线方程得，

所以，又

所以直线BQ的斜率为

以下同思路一

思路三：设，则直线AQ方程为

直线BQ的方程为

当，得，即

当，得，即

则

又

所以

利用导数，或变形为二次函数求其最小值。