题目内容

椭圆C：
x2
a2
+
y2
2
=1（a＞0）的焦点在x轴上，右顶点A为（4，0）
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为
2
2
的动直线l与椭圆C交于不同的两点M（x1，y1）、N（x2，y2），且y1y2≥m恒成立，求实数m的最大值．
分析：（1）由椭圆C：
x2
a2
+
y2
2
=1（a＜0）的焦点在x轴上，右顶点A为（4，0），可得a2=42即可得出；
（2）设动直线l的方程为：y=
2
2
x+t．与椭圆的方程联立可得△＞0，及其根与系数的关系，再利用y1y2≥m恒成立及二次函数的单调性即可得出．
解答：解：（1）∵椭圆C：
x2
a2
+
y2
2
=1（a＜0）的焦点在x轴上，右顶点A为（4，0），∴a2=42=16，
∴椭圆C的方程为
x2
16
+
y2
2
=1；
（2）设动直线l的方程为：y=
2
2
x+t．
联立
y=
2
2
x+t
x2
16
+
y2
2
=1
，化为5y2-2ty+t2-8=0．
∵直线l与椭圆C交于不同的两点M（x1，y1）、N（x2，y2），
∴△=4t2-20（t2-8）＞0，化为t2＜10．
∴y1y2=
t2-8
5
，
∵y1y2≥m恒成立，∴(
t2-8
5
)min≥m，
∵t2＜10，∴
t2-8
5
≥-
8
5
．当且仅当t=0时取等号．
∴m≤-
8
5
．
∴实数m的最大值是-
8
5
．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数的关系、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
一条斜率为1的直线l与离心率e=
2
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且
.
OP
•
.
OQ
=-3，
.
PR
=3
.
RQ
，求直线l和椭圆C的方程．
直角坐标系xoy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点P（
3
5
a，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1、A2B2于点M、N．
（1）求椭圆离心率；
（2）若MN=
4
21
7
，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为
3
2
，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直线AB的方程．
如图所示，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，左焦点为F1（-1，0），右焦点为F2（1，0），短轴两个端点为A、B．与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．
（3）当弦MN的中点P落在△MF1F2内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）设椭圆的两焦点分别为F1，F2，若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

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