题目内容
AB为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点弦，若|AB|=1，则AB中点的横坐标为 ；若AB的倾斜角为α，则|AB|= ．
【答案】分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），当|AB|=1时，根据抛物线性质可知x1+
+x2+
=|AB|求得x1+x2，进而可得AB中点的横坐标；当AB的倾斜角为α，可知直线AB斜率为k=tanα设直线AB是y-0=tanα（x-
）与抛物线方程联立消去y求得x1+x2，进而根据抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离求得|AB|．
解答：解：抛物线y2=2px，∴焦点为（
，0），准线方程为x=-
设A（x1，y1），B（x2，y2）
①根据抛物线性质可知，x1+
+x2+
=|AB|=1
∴x1+x2=1-p
∴AB中点的横坐标
=
②k=tanα
所以直线AB是y-0=tanα（x-
）
代入抛物线方程得
tan2αx2-tan2αpx+tan2α
=2px
tan2αx2-（tan2αp+2p）x+tan2α
=0
所以x1+x2=
抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离
所以A横坐标是x1，所以A到准线距离=x1+
B到准线距离=x2+
所以AB=AF+BF=
点评：本题主要考查了抛物线的性质．要特别利用好“抛物线的抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离”的性质．
+x2+
=|AB|求得x1+x2，进而可得AB中点的横坐标；当AB的倾斜角为α，可知直线AB斜率为k=tanα设直线AB是y-0=tanα（x-
）与抛物线方程联立消去y求得x1+x2，进而根据抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离求得|AB|．解答：解：抛物线y2=2px，∴焦点为（
，0），准线方程为x=-
设A（x1，y1），B（x2，y2）
①根据抛物线性质可知，x1+
+x2+
=|AB|=1∴x1+x2=1-p
∴AB中点的横坐标
=
②k=tanα
所以直线AB是y-0=tanα（x-
）代入抛物线方程得
tan2αx2-tan2αpx+tan2α
=2pxtan2αx2-（tan2αp+2p）x+tan2α
=0所以x1+x2=
抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离
所以A横坐标是x1，所以A到准线距离=x1+
B到准线距离=x2+
所以AB=AF+BF=
点评：本题主要考查了抛物线的性质．要特别利用好“抛物线的抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离”的性质．
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