Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的离心率e=

2

2

，且右焦点F到左准线的距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）又已知点A为抛物线y²=2px（p＞0）上一点，直线FA与椭圆C的交点B在y轴的左侧，且满足

AB

=2

FA

，求p的最大值．

Answer 1

分析：（1）首先由离心率得出

c

a

=

2

2

，然后根据右焦点到左准线的距离d=c+

a2

c

=3，就可以求出椭圆方程；
（2）先设B点坐标，然后根据

AB

=2

FA

，表示出A点坐标，并代入抛物线方程得出12p=

2- x 2 0

x0+2

，再令t=x₀+2，用的含p式子表示p，

解答：解：（1）∵

x2

a2

+

y2

b2

=1的离心率e=

2

2

，∴

c

a

=

2

2

．①
而右焦点到左准线的距离d=c+

a2

c

=3．②
由①②解得a=

2

，c=1，从而b=1．
从而所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1（6分）
（2）椭圆的右焦点为F（1，0），点B在椭圆

x2

2

+y2=1（x＜0）上．
设B（x₀，y₀），其中-

2

≤x0＜0，
由

AB

=2

FA

，知xA=

x0+2

3

，yA=

y0

3

．
由点A在抛物线y²=2px上，得

y 2 0

9

=2p•

x0+2

3

．
又

y

2 0

=1-

x 2 0

2

，∴12p=

2- x 2 0

x0+2

．令t=x₀+2，则2-

2

≤t＜2．
即12p=

-t2+4t-2

t

=-(t+

2

t

-4)．
∵2-

2

≤t＜2，
∴t+

2

t

≥2

2

（当且仅当t=

2

时取“=”）．
∴p≤

1

3

-

2

6

．
又当t=

2

时，x0=

2

-2为椭圆在y轴左侧上的点．
故p的最大值为

1

3

-

2

6

．（14分）

点评：本题考查了椭圆的简单性质以及椭圆与抛物线的综合，巧用a+b≥2

ab

是解决（2）问的关键，属于中档题．