Question

已知f(x)在（0，+∞）上是增函数，任意x、y∈(0,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)成立.

(1)求证：f(1)=0;

(2)若f(2)=1,解不等式f(2x)+f(x-1)＜2.

Answer 1

(1)证明：令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1),

即f(1)=0.

(2)解：∵对任意x、y∈(0,+∞),f(x)+f(y)=f(xy)，∴f(4)=f(2)+f(2)=2f(2)=2.

∴不等式f(2x)+f(x-1)＜2等价于

又∵f(x)在（0,+∞）上是增函数，

∴不等式可化为

解得{x∈R|1＜x＜2}.

∴不等式f(2x)+f(x-1)＜2的解集为（1，2）.