题目内容

已知椭圆的两个焦点分别为F1(-c，0)和F2(c，0)(c＞0)，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|，
(Ⅰ)求椭圆的离心率；
(Ⅱ)求直线AB的斜率；
(Ⅲ)设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H(m，n)(m≠0)在△AF1C的外接圆上，求的值。

解：(Ⅰ)由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，得，
从而，整理，得，
故离心率为。
(Ⅱ)由(Ⅰ)，得b2=a2-c2=2c2，
所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2，
设直线AB的方程为，即y=k(x-3c)，
由已知设A(x1，y1)，B（x2，y2），
则它们的坐标满足方程组，
消去y并整理，得(2+3k2)x2-18k2cx+27k2c2-6c2=0，
依题意，，得，
而，①
，②
由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x2， ③
联立①③解得，
将x1，x2代入②中，解得。
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知x1=0，，
当时，得，由已知得，
线段AF1的垂直平分线l的方程为，
直线l与x轴的交点是△AF1C的外接圆的圆心．
因此外接圆的方程为，
直线F2B的方程为，
于是点H(m，n)的坐标满足方程组，
由m≠0，解得，
故。
当时，同理可得。
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆的两个焦点分别是F1(0，-2
2
)，F2(0，2
2
)，离心率e=
2
2
3
．
（1）求椭圆的方程；
（2）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN中点的横坐标为-
1
2
，求直线l的倾斜角的范围．
求下列各曲线的标准方程．
（1）已知椭圆的两个焦点分别是（-2，0），（2，0），并且经过点（
5
2
，-
3
2
）．
（2）已知抛物线焦点在x轴上，焦点到准线的距离为6．

给定椭圆：  ，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”． 已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆上一动点满足．

（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程；

（Ⅱ）过点P作直线,使得直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为．求出的值．

 

（（本小题满分14分）

给定椭圆：  ，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”． 已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆上一动点满足．

（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程

（Ⅱ）试探究y轴上是否存在点(0, )，使得过点作直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。

 

（本小题满分14分）

给定椭圆：  ，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”． 已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆上一动点满足．

(Ⅰ) 求椭圆及其“伴随圆”的方程；

（Ⅱ） 过点P作直线,使得直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为．求出的值．