Question

求下列各曲线的标准方程．
（1）已知椭圆的两个焦点分别是（-2，0），（2，0），并且经过点（

5

2

，-

3

2

）．
（2）已知抛物线焦点在x轴上，焦点到准线的距离为6．

Answer 1

分析：（1）由题意可设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），设焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0），因为椭圆经过点P（

5

2

，-

3

2

），利用椭圆的定义可得
2a=|PF₁|+|PF₂|，再利用b²=a²-c²即可得出．
（2）抛物线焦点在x轴上，可设标准方程为y²=±2px（p＞0）．根据焦点到准线的距离为6，可得p=6，即可得到抛物线的标准方程．

解答：解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵椭圆经过点（

5

2

，-

3

2

）．
∴2a=

( 5 2 +2)2+(- 3 2 )2

+

( 5 2 -2)2+(- 3 2 )2

=2

10

．
∴a=

10

．
∵c=2，∴b²=a²-c²=10-4=6．
所求椭圆的标准方程为  

x2

10

+

y2

6

=1．
（2）∵抛物线焦点在x轴上，可设标准方程为y²=±2px（p＞0）．
∵焦点到准线的距离为6，∴p=6．
∴抛物线的标准方程为y²=±12x．

点评：本题考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，属于基础题．