Question

（本小题满分14分）
已知，为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于，的动点，且面积的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）直线与椭圆在点处的切线交于点，当直线绕点转动时，试判断以
为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为，．
由题意知解得，．
故椭圆的方程为，离心率为．……6分
（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．    
证明如下：由题意可设直线的方程为.
则点坐标为，中点的坐标为．
由得．
设点的坐标为，则．
所以，．……………………………10分
因为点坐标为，
当时，点的坐标为，点的坐标为.
直线轴，此时以为直径的圆与直线相切．
当时，则直线的斜率.
所以直线的方程为．
点到直线的距离．
又因为，所以．
故以为直径的圆与直线相切．
综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切．………14分

略