Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求直线l的方程以及点M的坐标；
（Ⅲ）是否存在过点P的直线l₁与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足？若存在，求直线l₁的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意解得a²=4，b²=3，故椭圆C的方程为．
（Ⅱ）因为过点P（2，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-2）+1．所以（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0．因为直线l与椭圆相切，所以△=[-8k（2k-1）]²-4（3+4k²）（16k²-16k-8）=0．解得．由此可知切点M坐标为．
（Ⅲ）若存在直线l₁满足条件，设直线l₁的方程为y=k₁（x-2）+1，代入椭圆C的方程得（3+4k₁²）x²-8k₁（2k₁-1）x+16k₁²-16k₁-8=0．设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），由△=[-8k₁（2k₁-1）]²-4（3+4k₁²）（16k₁²-16k₁-8）=32（6k₁+3）＞0．知．由此可知存在直线l₁满足条件，其方程为．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意得
解得a²=4，b²=3，故椭圆C的方程为．（4分）
（Ⅱ）因为过点P（2，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-2）+1．
由得（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0．①
因为直线l与椭圆相切，所以△=[-8k（2k-1）]²-4（3+4k²）（16k²-16k-8）=0．
整理，得32（6k+3）=0．
解得．
所以直线l方程为．
将代入①式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为．（9分）
（Ⅲ）若存在直线l₁满足条件，设直线l₁的方程为y=k₁（x-2）+1，代入椭圆C的方程得（3+4k₁²）x²-8k₁（2k₁-1）x+16k₁²-16k₁-8=0．
因为直线l₁与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
所以△=[-8k₁（2k₁-1）]²-4（3+4k₁²）（16k₁²-16k₁-8）=32（6k₁+3）＞0．
所以．
又，，
因为，即，
所以．
即，
所以，解得．
因为A，B为不同的两点，所以．
于是存在直线l₁满足条件，其方程为．（13分）
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．