题目内容
某学生对函数f（x）=2xcosx进行研究，得到如下四个命题：
①函数f（x）在[-π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；
②存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M|x|对一切实数都成立；
③（
，0）是函数f（x）图象的一个对称中心；
④函数f（x）图象关于直线x=π对称．
其中真命题的个数为（ ）
①函数f（x）在[-π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；
②存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M|x|对一切实数都成立；
③（
| π |
| 2 |
④函数f（x）图象关于直线x=π对称．
其中真命题的个数为（ ）
分析：研究函数f（x）得单调性可知函数f（x）为奇函数，结合奇函数的对称区间上的单调性可判断（1）；根据y=cosx是有界函数可判断（2）；根据函数基本性质：对称性的应用可判断（3）（4）．
解答：解：因为f（x）=2xcosx
所以，f（-x）=-2xcos（-x）=-2xcosx=-f（x）
则函数f（x）是奇函数，在对称的区间上单调性相同，故（1）错误
（2）因为|cosx|≤1，令M=2即得|f（x）|≤M|x|成立，故（2）正确
（3）因为f（
π+x）+f（
π-x）=-（π+2x）sinx+（π-2x）sinx=-4xsinx≠0，所以点（
π，0）不是函数y=f（x）图象的一个对称中心，故（3）错误
（4）因为f（π+x）=2（π+x）cosx，f（π-x）=2（π-x）cosx，所以f（π+x）≠f（π-x），则函数y=f（x）图象不关于直线x=π对称，故（4）错误
故选A
所以，f（-x）=-2xcos（-x）=-2xcosx=-f（x）
则函数f（x）是奇函数，在对称的区间上单调性相同，故（1）错误
（2）因为|cosx|≤1，令M=2即得|f（x）|≤M|x|成立，故（2）正确
（3）因为f（
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（4）因为f（π+x）=2（π+x）cosx，f（π-x）=2（π-x）cosx，所以f（π+x）≠f（π-x），则函数y=f（x）图象不关于直线x=π对称，故（4）错误
故选A
点评：本题主要考查函数单调性与其导函数的正负之间的关系以及函数的基本性质--对称性的应用．属中档题．
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