Question

某学生对函数f（x）=xsinx进行研究，得出如下四个结论：
①函数f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上单调递增；
②存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立；
③函数f（x）在（0，π）无最小值，但一定有最大值；
④点（π，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心．
其中正确的是（　　）

• A、③
• B、②③
• C、②④
• D、①②④

Answer 1

分析：①化简函数的表达式，判断函数f（x）的奇偶性，即可判定在[-

π

2

，

π

2

]上单调递增的正误；
②找出一个常数M，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立即可；
③利用函数的单调性，判断函数f（x）在（0，π）的最值即可；
④找出关于点（π，0）的对称点是否关于（π，0）对称即可判断正误；

解答：解：①f（-x）=-xsin（-x）=f（x），易知f（x）是偶函数，因此f（x）=xsinx在[-

π

2

，

π

2

]上不可能单调递增；
②取M=1即可说明结论是正确的；
③由②知|f（x）|≤|x|，故在（0，π）一定有最大值，由于f（x）＞0，且和0无限靠近，因此无最小值；
④f(

π

2

)=

π

2

，f(

3π

2

)=-

3π

2

，f(

π

2

)≠-f(

3π

2

)．故点（π，0）不是函数y=f（x）图象的一个对称中心．
故选B．

点评：本题是基础题，考查三角函数的基本性质，牢记基本知识，基本性质是解好数学题目的关键．