Question

某学生对函数f（x）=xsinx结论：
①函数f（x）在[-

π

2

，

π

2

]单调；
②存在常数M＞0，使f（x）≤M成立；
③函数f（x）在（0，π）上无最小值，但一定有最大值；
④点（π，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：本题考查的是函数的性质分析问题．在解答时：①利用导函数的正负分析单调性即可；②在（2kπ，2kπ+

π

2

），k∈Z上x可以去到无限大，所以不存在M使的f（x）≤M成立；③在（0，π）上通过研究单调性的变化即可获得问题的解答；④假若点（π，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心，则x=

π

2

和x=

3π

2

时的函数值应互为相反数，实则不然，故可判断正误．

解答：解：由题意可知：f′（x）=sinx+xcosx．
①∵当x∈[-

π

2

，0]时，f′（x）＜0所以函数在[-

π

2

，0]上单调递减；
当x∈[0，

π

2

]时，f′（x）＞0所以函数在[0，

π

2

]上单调递增；故①不对．
②在（2kπ，2kπ+

π

2

），k∈Z上x可以去到无限大，所以不存在M使的f（x）≤M成立，故②不对；
③函数在[0，

π

2

]上单调递增，同上可知函数在（0，π）上为先增后减的函数，又所给区间为开区间，所以此命题正确；
④假若点（π，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心，则x=

π

2

和x=

3π

2

时的函数值应互为相反数，而f(

π

2

) =

π

2

，f(

3π

2

) =-

3π

2

，故不成立．
故答案为：③．

点评：本题考查的是函数的性质分析问题．在解答的过程当中成分体现了导数的知识、函数最值的知识、对称中心的知识．值得同学们体会和反思．