题目内容

已知函数f（x）=x-1-alnx（a∈R））．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0，求实数a的值；
（2）求证：f（x）≥0恒成立的充要条件是a=1；
（3）若a＜0，且对任意x₁，x₂∈（0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4| $数学公式$ - $数学公式$ |，求实数a的取值范围．

解：（1）∵f'（x）=1- $\text{[math]}$ ，∴f'（1）=1-a
∴曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率为1-a
∵曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0，
∴1-a=3，解得a=-2
（2）①充分性
当a=1时，f（x）=x-1-lnx，f'（x）=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴当x＞1时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，
当0＜x＜1时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（0，1）上是减函数，
∴f（x）≥f（1）=0
②必要性
f'（x）=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，其中x＞0
（i）当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
而f（1）=0，所以当x∈（0，1）时，f（x）＜0，与f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a≤0不满足题意．
（ii）当a＞0时，∵x＞a时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（a，+∞）上是增函数；
0＜x＜a时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（0，a）上是减函数；
∴f（x）≥f（a）=a-a-alna
∵f（1）=0，所以当a≠1时，f（a）＜f（1）=0，此时与f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a=1
综上所述，f（x）≥0恒成立的充要条件是a=1；
（3）由（2）可知，
当a＜0时，函数f（x）在（0，1]上是增函数，又函数y= $\text{[math]}$ 在（0，1]上是减函数
不妨设0＜x₁≤x₂≤1
则|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₂）-f（x₁），
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤4| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |即f（x₂）+4× $\text{[math]}$ ≤f（x₁）+4× $\text{[math]}$
设h（x）=f（x）+ $\text{[math]}$ =x-1-alnx+ $\text{[math]}$ ，
则|f（x₁）-f（x₂）|≤4| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数
因为h'（x）=1- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，所以x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，
即a≥x- $\text{[math]}$ 在（0，1]上恒成立，即a不小于y=x- $\text{[math]}$ 在（0，1]内的最大值．
而函数y=x- $\text{[math]}$ 在（0，1]是增函数，所以y=x- $\text{[math]}$ 的最大值为-3
所以a≥-3，又a＜0，所以a∈[-3，0）．
分析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，建立等式关系即可求出a的值；
（2）先证充分性，当a=1时，利用导数研究函数的最小值即可，然后证明必要性，讨论a的符号使f（x）≥0恒成立，求出a的值即可；
（3）设h（x）=f（x）+ $\text{[math]}$ =x-1-alnx+ $\text{[math]}$ ，则|f（x₁）-f（x₂）|≤4| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数即使x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，然后利用分离法将a分离出来，从而求出a的范围．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及充要条件的证明和恒成立问题的应用，同时考查了计算能力，转化与划归的思想，属于中档题．