Question

在数列{a_n}中，a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n（n=1，2，3，…）．
（I）求a₁，a₂，a₃的值；
（II）设b_n=a_n-1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（III）设cn=bn•(n-n2) （n=1，2，3，…），如果对任意n∈N^*，都有cn＜

t

5

，求正整数t的最小值．

Answer 1

分析：（I）在递推公式中依次令n=1，2，3计算求解．
（II）由已知可得，S_n=n-a_n，当n≥2时，S _n-1=（n-1）-a_n-1，a_n=S_n-S_n-1=1-a_n+a_n-1，继而a_n-1=

1

2

（a_n-1-1），所以数列{b_n}是等比数列，
（III）由（Ⅱ）得b_n=-

1

2n

，cn=bn•(n-n2)=

n2-n

2n

，用作差比较法判断{c_n}的单调性，得出其最大值，令最大值小于

t

5

，求正整数t的最小值．

解答：（I）解：由已知，a₁=1-a₁，a₁=

1

2

．a₁+a₂=2-a₂，a₂=

3

4

．a₁+a₂+a₃=3-a₃，a₃=

7

8

．
（II）证明：由已知可得，S_n=n-a_n，
当n≥2时，S _n-1=（n-1）-a_n-1，
a_n=S_n-S_n-1=1-a_n+a_n-1
a_n-1=

1

2

（a_n-1-1），
即当n≥2时，b_n=

1

2

b_n-1，b₁=a₁-1=-

1

2

≠0
所以数列{b_n}是等比数列，其首项为-

1

2

，公比为

1

2

．
（III）解：由（Ⅱ）得b_n=-

1

2n

，
∴cn=bn•(n-n2)=

n2-n

2n

c_n-c_n-1=

(n+1)2-(n+1)

2n+1

-

n2-n

2n

=

n(3-n)

2n+1

∴c₁＜c₂＜c₃=c₄＞c₅＞…
∴c_n有最大值c₃=c₄=

3

4

，任意n∈N^*，都有cn＜

t

5

，当且仅当

3

4

＜

t

5

即t＞

15

4

，故正整数t的最小值是4．

点评：本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式，考查等比数列的判定、通项公式求解，数列的函数性质，考查变形构造、转化、计算能力．