题目内容
定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1-λ）b（x∈R）．已知
=λ
+（1-λ）
，若|
|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数y=x2-3x+2在[1，3]上k阶线性相似，则实数k的取值范围为 ．
| ON |
| OA |
| OB |
| MN |
考点：平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：A（1，0），B（3，2）．可得M（3-2λ，4λ2-6λ+2）．
=λ
+（1-λ）
=（3-2λ，2-2λ），得到
=（0，-4λ2+4λ）．由于函数y=x2-3x+2在[1，3]上k阶线性相似，因此|
|≤k恒成立，于是k≥|4λ2-4λ|max．由于0≤λ≤1，即可得出|4λ2-4λ|max．
| ON |
| OA |
| OB |
| MN |
| MN |
解答：
解：A（1，0），B（3，2）．
∴xM=λ+3（1-λ）=3-2λ，yM=（3-2λ）2-3（3-2λ）+2=4λ2-6λ+2．
∴M（3-2λ，4λ2-6λ+2）．
=λ
+（1-λ）
=λ（1，0）+（1-λ）（3，2）=（3-2λ，2-2λ），
∴
=（0，-4λ2+4λ）．
∵函数y=x2-3x+2在[1，3]上k阶线性相似，
∴|
|≤k恒成立，∴k≥|4λ2-4λ|max．
∵0≤λ≤1，∴|4λ2-4λ|max=1．
则实数k的取值范围为k≥1．
故答案为：[1，+∞）．
∴xM=λ+3（1-λ）=3-2λ，yM=（3-2λ）2-3（3-2λ）+2=4λ2-6λ+2．
∴M（3-2λ，4λ2-6λ+2）．
| ON |
| OA |
| OB |
∴
| MN |
∵函数y=x2-3x+2在[1，3]上k阶线性相似，
∴|
| MN |
∵0≤λ≤1，∴|4λ2-4λ|max=1．
则实数k的取值范围为k≥1．
故答案为：[1，+∞）．
点评：本题考查了新定义、向量的线性运算、模的计算公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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