Question

13．角α和β的顶点为平面直角坐标系的原点，始边都与x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆（半径为1）相交于点P、Q两点，已知Q点也在射线y=-$\frac{4}{3}$x（x＜0）上．
（1）求点Q的坐标；
（2）如图，若∠QOP=$\frac{3π}{4}$，写出角α，β的等量关系．并求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由Q点在射线y=-$\frac{4}{3}$x（x＜0）上，可得：tanβ=-$\frac{4}{3}$，结合同角三角函数的基本关系，可得β的两弦值，进而得到Q的坐标；
（2）若∠QOP=$\frac{3π}{4}$，则角α与β+$\frac{3π}{4}$的终边垂直，进而可得角α，β的等量关系，结合诱导公式和两角和的正余弦公式，求出α的两弦值，进而得到P的坐标；

解答 解（1）∵Q点在射线y=-$\frac{4}{3}$x（x＜0）上，
故tanβ=-$\frac{4}{3}$，
故cosβ=-$\sqrt{\frac{1}{1+{tan}^{2}β}}$=$-\frac{3}{5}$，sinβ=tanβ•cosβ=$\frac{4}{5}$，
故Q点坐标为：（$-\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），
（2）∵∠QOP=$\frac{3π}{4}$，
∴α=β+$\frac{3π}{4}$+2kπ，k∈Z，
则cosα=cos（β+$\frac{3π}{4}$+2kπ）=cos（β+$\frac{3π}{4}$）=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$cosβ$-\frac{\sqrt{2}}{2}$sinβ=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
sinα=sin（β+$\frac{3π}{4}$+2kπ）=sin（β+$\frac{3π}{4}$）=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$sinβ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosβ=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
故P点的坐标为：（-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$）

点评 本题考查的知识点是三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，诱导公式和两角和的正余弦公式，难度中档．