Question

4．（1）已知命题p：（x+2）（x-10）≤0，命题q：1-m≤x≤1+m，m＞0，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
（2）已知命题p：|a|＜2，命题q：一次函数f（x）=（2-2a）x+1是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先将条件p，q化简，然后利用p是q的充分不必要条件，确定参数a的取值范围；（2）先求出关于p，q为真命题时的a的范围，通过讨论p，q的真假，从而求出a的范围．

解答 解：（1）命题p：（x+2）（x-10）≤0，
∴-2≤x≤10，
命题q：1-m≤x≤1+m，m＞0
∴1-m≤x≤1+m，
∵q是p的充分不必要条件，
p：x∈[-2，10]，q：x∈[1-m，1+m]
∴[1-m，1+m]?[-2，10]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-m＞-2}\\{1+m＜10}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m＜3}\\{m＜9}\end{array}\right.$，
当1-m=-2时，m=3，
[-2，4]?[-2，10]，
∴m=3成立，
∴实数m的取值范围是[3，+∞）；
（2）若命题p：|a|＜2，
则-2＜a＜2，
命题q：一次函数f（x）=（2-2a）x+1是增函数，
则2-2a＞0，解得：a＜1，
若p∨q为真，p∧q为假，
则p，q一真一假，
p真q假时：$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a＜2}\\{a≥1}\end{array}\right.$，解得：1≤a＜2，
p假q真时：$\left\{\begin{array}{l}{a≥2或a≤-2}\\{a＜1}\end{array}\right.$，解得：a≤-2，
综上：a∈（-∞，-2]∪[1，2）．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查充分必要条件，是一道中档题．