Question

若x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x²-10x的一个极值点．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为f′(x)=

a

1+x

+2x-10，所以f′(3)=

a

4

+6-10=0，因此a=16，由此能求出f（x）的单调区间．
（2）由（1）知，f（x）在（-1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，故在f（x）的三个单调区间（-1，1），（1，3），（3，+∞），直线y=b与y=f（x）的图象各有一个交点，由此能求出b的取值范围．

解答：解：（1）因为f′(x)=

a

1+x

+2x-10，
所以f′(3)=

a

4

+6-10=0，因此a=16…2分
故 f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，x∈（-1，+∞），
f′(x)=

2(x2-4x+3)

1+x

…4分
当x∈（-1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，
所以f（x）的单调增区间是（-1，1），（3，+∞），f（x）的单调减区间是（1，3）…6分
（2）由（1）知，f（x）在（-1，1）内单调增加，
在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，
所以f（x）的极大值为f（1）=16ln2-9，极小值为f（3）=32ln2-21，…8分
所以在f（x）的三个单调区间（-1，1），（1，3），（3，+∞），
直线y=b与y=f（x）的图象各有一个交点，
当且仅当f（3）＜b＜f（1）．
因此b的取值范围为（32ln2-21，16ln2-9）．…12分．

点评：本题考查函数的单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．