Question

对于实数a，将满足“0≤y＜1且x-y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a_n}满足如下条件：a₁=|a，a_n+1=其中n=1，2，3，…
（1）若a=，求数列{a_n}；
（2）当a时，对任意的n∈N^*，都有a_n=a，求符合要求的实数a构成的集合A．
（3）若a是有理数，设a= （p 是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a_n=0成立，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知=，a₂====，由此能求出．
（2）由a₁=||a||=a，知，1＜＜4，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A．
（3）成立．证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a_n为0或正有理数，可设，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{a_m}中a_m以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有a_n=0．
解答：解：（1）∵满足“0≤y＜1且x-y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，
a₁=，a_n+1=其中n=1，2，3，…
∴=，a₂====，…（2分）
a_k=，则a_k+1===，
所以．…（4分）
（2）∵a₁=||a||=a，∴，∴1＜＜4，
①当，即1＜＜2时，==-1=a，
所以a²+a-1=0，
解得a=，（a=∉（，1），舍去）．…（6分）
②当，即2≤＜3时，a₂==，
所以a²+2a-1=0，
解得a==，（a=-∉（，]，舍去）．…（7分）
③当，即3＜4时，，
所以a²+3a-1=0，
解得a=（a=，舍去）．…（9分）
综上，{a=，a=，a=}．…（10分）
（3）成立．…（11分）
证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a_n为0或正有理数，
可设（p_n是非负整数，q_n是正整数，且既约）．…（12分）
①由，得0≤p₁≤q；…（13分）
②若p_n≠0，设q_n=ap_n+β（0≤βP_n，α，β是非负整数）
则=a+，而由，得=，
==，
故P_n+1=β，q_n+1=P_n，得0≤P_n+1＜P_n．…（14分）
若P_n=0，则p_n+1=0，…（15分）
若a₁，a₂，a₃，…，a_q均不为0，则这q正整数互不相同且都小于q，
但小于q的正整数共有q-1个，矛盾．…（17分）
故a₁，a₂，a₃，…，a_q中至少有一个为0，即存在m（1≤m≤q），使得a_m=0．
从而数列{a_m}中a_m以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有a_n=0．…（18分）
（其它解法可参考给分）
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查集合的求法，考查a_n=0是否成立的判断与证明．综合性强，计算量大，难度较高，对数学思维能力的要求较高．解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．