Question

已知函数f（x）=e^x-x²+ax-1．
（1）过原点的直线与曲线y=f（x）相切于点M，求切点M的横坐标；
（2）若x≥0时，不等式f（x）≥0恒成立，试确定实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设切点为（x₀，y₀），则直线l的斜率为f'（x₀）=e^x-2x+a，从而求得直线l的方程，有条件直线1过原点可求解切点坐标．
（2）由导数的知识得出当x=ln2时，f'（x）=e^x-2x+a取得最小值，下面只要e^x-2x+a≥2-2ln2+a恒成立即可，等价于e^x-2x+a在定义域上的最小值大于2-2ln2+a即可．

解答：解：（1）∵f（x）=e^x-x²+ax-1，∴f'（x）=e^x-2x+a，
∴k=f′(x0)=ex0-2x0+a=

ex0-x02+ax0-1

x0

，

∴x0ex0-2x02+ax0=ex0-x02+ax0-1， ∴(x0-1)(ex0-x0-1)=0，

∴x₀=1或x₀=0（4分）
（2）∵f'（x）=e^x-2x+a，∴f''（x）=e^x-2=0，x=ln2，
可知，当x=ln2时，∵f'（x）=e^x-2x+a取得最小值，
即f'（x）=e^x-2x+a≥2-2ln2+a，
①当a≥2ln2-2时，f'（x）≥0恒成立，∴f（x）在R上为增函数，
又∵f（0）=e⁰-1=0，∴f（x）≥0恒成立．
2当a＜2ln2-23时，f'（x）=e^x-2x+a=04有两不等根x₁＜ln2＜x₂5，
则x∈（x₁，x₂），f'（x）＜0，x∈（x₂，+∞），f'（x）＞0，
当x=x₂时f（x）取到极小值，∴f(x2)=ex2-x22+ax2-1≥0，
又f′(x2)=ex2-2x2+a=0，即a=-ex2+2x2，∴ax2=-x2ex2+2x22，
∴ex2-x22-x2ex2+2x22-1=(1-x2)ex2+x22-1=(1-x2)(ex2-x2-1)≥0，
∵ex2-x2-1≥0，∴ln2＜x₂≤1，∴a=-ex2+2x2∈[-e+2，2ln2-2)，
由①②知实数a的取值范围是a≥2-e．（12分）

点评：本题考查导数在研究函数的单调性、最值和中的应用，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力．本题的第二问实际上是e^x-2x+a≥2-2ln2+a恒成立，关键是利用分离参数构造函数进行解答．