Question

15．设变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{x+2y-4＜0}\\{x+2y-2＞0}\end{array}\right.$，则目标函数z=x²+y²的取值范围是（$\frac{4}{5}$，16）．

Answer 1

分析 通过目标函数z=x²+y²即表示以原点O为圆心与满足约束条件的变量x、y所构成的梯形ABCD相交的圆的半径的平方，进而计算即得结论．

解答 解：依题意，满足约束条件的变量x、y所构成的图形为梯形ABCD，
其中A（2，0），B（4，0），C（0，2），D（0，1），
则目标函数z=x²+y²即表示以原点O为圆心与梯形ABCD相交的圆的半径的平方，
∴z的最小值为原点O到直线AD的距离d的平方，
最大值为OB²=16，
∵$\frac{1}{2}•d•AD=\frac{1}{2}OA•OD$，
∴d=$\frac{2×1}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，即d²=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{4}{5}$＜z＜16，
故答案为：（$\frac{4}{5}$，16）．

点评 本题考查简单线性规划，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．