Question

设平面直角坐标中，O为原点，N为动点，||=6，|=•，过点M作MM₁⊥y轴于M₁，过N作NN₁丄x轴于点N₁，=+，记点R的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II ）已知直线L与双曲线C₁：5x²-y²=36的右支相交于P、Q两点（其中点P在第一象限），线段OP交轨迹C于A，若=3，
S_△PAQ=-26tan∠PAQ，求直线L的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设T（x，y），点N（x₁，y₁），则N₁（x₁，0），由题意可=（x₁，y₁），从而可求M₁（0，y₁）由=，利用向量的坐标表示可得．代入||=6可求曲线方程
（Ⅱ）设A（m，n），由及P在第一象限得P（3m，3n），m＞0，n＞0及A∈C，P∈C₁可得5m²+n²=36，5m²-n²=4可求A，P，设Q（x，y）则5x²-y²=36．及S=-26tan∠PAQ可求点Q，由P，Q得直线l的方程
解答：解：（Ⅰ）设T（x，y），点N（x₁，y₁），则N₁（x₁，0）．
又，即=（x₁，y₁），
∴M₁（0，y₁），=（x₁，0），
=（0，y₁）． （3分）
于是==（x₁，y₁），（4分）
即（x，y）=（x₁，y₁）．代入||=6，得5x²+y²=36．
所求曲线C的轨迹方程为5x²+y²=36．（6分）
（Ⅱ）设A（m，n）由及P在第一象限得P（3m，3n），m＞0，n＞0
∵A∈C，P∈C₁∴5m²+n²=36，5m²-n²=4解得m=2，n=4
即A（2，4），P（6，12）（8分），
设Q（x，y）则5x²-y²=36．①
由S=-26tan∠PAQ得，
，即x+2y+3=0．②（10分）
联立①，②，解得或因点Q在双曲线C₁的右支，
故点Q的坐标为（3，-3）（11分）
由P（6，12），Q（3，-3）得直线l的方程为即5x-y-18=0（12分）
点评：本题主要考查了利用向量的基本运算为载体，考查圆锥曲线的方程的求解及直线与曲线相交求解交点的问题，解题的关键是要熟练应用向量的基本运算，及较强的计算推理的能力．