Question

一个被绳子牵着的小球做圆周运动（如图）．它从初始位置P₀开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s做圆周运动．已知绳子的长度为l，求：
（Ⅰ）P的纵坐标y关于时间t的函数解析式；
（Ⅱ）如果ω=

π

6

rad/s，l=2，|φ|＜

π

2

，当t=

3

2

s时，y首次达到最大值，求φ的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，试求小球到达x轴的正半轴所需的时间．

Answer 1

考点：任意角的三角函数的定义,单位圆与周期性

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由题意可得，∠POx=φ+ωt，根据三角函数的定义，可得P点纵坐标y=|OP|sin∠POx，化简可得结果
（Ⅱ）令相位

π

6

×

3

2

+φ=

π

2

，即可求得φ 的值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，令相位

π

6

t+

π

4

=2π，即可求得小球到达x轴的正半轴所需的时间t的值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，∠POx=∠P₀0x+ωt=φ+ωt根据三角函数的定义，
可得P点纵坐标y=|OP|sin∠POx=rsin（φ+ωt），
即所求y关于时间t的函数关系为y=rsin（ωt+φ）．
（Ⅱ）∵ω=

π

6

rad/s，l=2，|φ|＜

π

2

，当t=

3

2

s时，y首次达到最大值，
可得

π

6

×

3

2

+φ=

π

2

，∴φ=

π

4

．
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，令相位

π

6

t+

π

4

=2π，求得t=

21

2

（s），
即求小球到达x轴的正半轴所需的时间为

21

2

s．

点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，单位圆及y=Asin（ωx+φ）的图象特征，属于基础题．