Question

如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心， PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：

（1）PA//平面BDE；
（2）平面PAC⊥平面BDE；
（3）若PO=1，AB=2，求异面直线OE与AD所成角的余弦值。

Answer 1

（1）证明：连接AC、OE，AC∩BD=O，
在△PAC中，∵E为PC中点，O为AC中点，
∴PA∥EO，
又∵EO平面EBD ，PA平面EBD，
∴PA∥面BDE。
（2）证明：∵PO⊥底面ABCD，
∴PO⊥BD，
又∵BD⊥AC，
∴BD⊥平面PAC，
又BD平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE。
（3）解：由（1）知，PA∥EO，
∴∠PAD为异面直线OE 与AD所成角，
∵O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，
∴PD==，
PA==，
∴在△APD中，PA=PD，△APD是等腰三角形，
∴。