Question

已知函数f（x）满足：f(1)=

1

2

，f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）（x，y∈R），则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）等于（　　）

• A．-1
• B．0
• C．

  1

  2

• D．1

Answer 1

分析：令x=1，y=0，可求得f（0），进一步可求得f（1）与f（2）的值，再令y=1，可求得f（x+1）+f（x-1）=f（x），继而有f（x+3）+f（x）=0，得到函数f（x）是以6为周期的函数，即可解决问题．

解答：解：∵f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）（x，y∈R），
令y=1则：f（x+1）+f（x-1）=f（x）…（1），
再以x+1代x可得：f（x+2）+f（x）=f（x+1）…（2），
两式相减得：f（x+2）+f（x-1）=0，
即f（x+3）+f（x）=0．
∴f（x+3）=-f（x），
∴f（x+6）=f（x），即函数f（x）是以6为周期的函数．
∴f（0）+f（1）+…+f（2013）
=[f（0）+f（3）]+[f（1）+f（4）]+[f（2）+f（5）]
+…+[f（2010）+f（2013）]+f（2011）+f（2012）
=0+0+…+0+f（2011）+f（2012）
=f（335×6+1）+f（335×6+2）
=f（1）+f（2），
令x=1，y=0，得2f（1）=2f（1）•f（0），又f（1）=

1

2

，
∴f（0）=1，
同理可得f（2）=-

1

2

，
∴f（1）+f（2）=0，
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）=0．
故选B．

点评：本题考查抽象函数及其应用，求得f（x+3）+f（x）=0是关键，得到f（x+6）=f（x）是难点，考查综合分析与观察解决问题的能力，属于难题．