Question

已知数列｛an｝, a1＝cosθ,a2＝cos2θ, an+2＝2an+1cosθ-an, 则

an＝cosnθ

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Answer 1

答案：T
解析：

证明:(1)当n＝1, n＝2时, 命题显然成立.      (2)假设n＝k-1, k(k≥2)时, 命题成立.      即 ak-1＝cos(k-1)θ, aK＝coskθ      当n＝k+1时,      ∵  ak+1＝2akcosθ-ak-1        ＝2coskθ·cosθ-cos(k-1)θ        ＝coskθ·cosθ-sinkθsinθ＝cos(k+1)θ      ∴  n＝k+1时命题仍然成立.      根据(1),(2), ∴ 对于一切 n∈N,命题成立.

提示：

用数学归纳法证明. 因为在证第二步时应用的递推关系是: ak+1＝2akcosθ-ak-1 所以在证明第一步时, 需验证n＝1和n＝2时命题成立.