题目内容
【题目】如图①，正方形
的边长为4，
，
，把四边形沿
折起，使得
平面
，
是
的中点，如图②
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
首先结合已知
底面
，所以有
，再结合菱形的性质即可得到
，那么（1）便不难求证了。对于（2）首先建立如图所示的空间直角坐标系，分析可知，
为平面
的一个法向量，再求出平面
的法向量，然后根据
进行求解即可。
解：（1）证明：连接
，因为
，
底面，
所以底面，又
底面，所以，
因为
，所以四边形
为菱形，所以，
又
，
平面
，
平面，所以
平面.
（2）由（1）知四边形为菱形，，
，
设
，所以
，
，
以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
设平面的法向量为
，
则
所以
令
，则
，
，
即平面的一个法向量为
，
易知平面的一个法向量为
，
设二面角
的大小为
，由图易知
，
所以
.
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