题目内容

设a³+b³=2，求证a+b≤2.

思路分析：待证不等式中有小于等于号，不妨试用反证法，在假设a＞2-b的情况下，结合a³+b³=2，构造完全平方式，出现矛盾不等式，问题得证.

证明：假设a+b＞2，则有a＞2-b，从而a³＞8-12b+6b²-b³,

a³+b³＞6b²-12b+8=6(b-1)²+2.

因为6(b-1)²+2≥2，所以a³+b³＞2，这与题设条件a³+b³=2矛盾，所以，原不等式a+b≤2成立.

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