Question

（2013•韶关一模）设等差数列{a_n}的公差d≠0，数列{b_n}为等比数列，若a₁=b₁=a，a₃=b₃，a₇=b₅
（1）求数列{b_n}的公比q；
（2）将数列{a_n}，{b_n}中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列{c_n}，是否存在正整数λ，μ，ω（其中λ＜μ＜ω）使得λ，μ，ω和c_λ+λ，c_μ+μ，c_ω+ω均成等差数列？若存在，求出λ，μ，ω的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设{b_n}的公比为q，依题意，由

aq2=a+2d aq4=a+6d

可求得q=±

2

；
（2）若{a_n}与{b_n}有公共项，不妨设a_n=b_m，由于m为奇数，且n=2

m+1

2

-1，令m=2k-1（k∈N^*），可求得b_m=a•2^k-1，于是有c_n=2^n-1a，假设存在正整数λ，μ，ω（其中λ＜μ＜ω）满足题意，设p=λ，q=μ，r=ω则

2q=p+r 2(a•2q-1+q)=(a•2p-1+p)+(a•2r-1+r)

，利用基本不等式可求得q＞

p+r

2

，与题设q=

p+r

2

矛盾，从而可得结论．

解答：解：（1）设{b_n}的公比为q，由题意

aq2=a+2d aq4=a+6d

，即

aq2-a=2d aq4-a=6d

---------------------------------------------（2分）
q=1不合题意，故

q2-1

q4-1

=

1

3

，解得q²=2，
∴q=±

2

----------------（4分）
（2）若{a_n}与{b_n}有公共项，不妨设a_n=b_m，
由（2）知：m为奇数，且n=2

m+1

2

-1，
令m=2k-1（k∈N^*），则b_m=a•(

2

)2k-1-1=a•2^k-1，
∴c_n=2^n-1a---------------------------------------------------------------（12分）
若存在正整数λ，μ，ω（其中λ＜μ＜ω）满足题意，
设p=λ，q=μ，r=ω则

2q=p+r 2(a•2q-1+q)=(a•2p-1+p)+(a•2r-1+r)

，
∴2^q=2^p-1+2^r-1，又2^p-1+2^r-1≥2

2p+r-2

=2

p+r

2

（当且仅当p=r时取“=”）
又p≠r，
∴又2^p-1+2^r-1＞2

p+r

2

----------------------（14分）
又y=2^x在R上增，
∴q＞

p+r

2

．与题设q=

p+r

2

矛盾，
∴不存在λ，μ，ω满足题意．------------------------------------------（16分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查方程思想与运算求解的能力和推理论证的能力，属于难题．