题目内容

设函数
（Ⅰ）若函数f（x）在x=3处取得极小值是，求a、b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若函数f（x）在（﹣1，1）上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．

解：（I）∵f'（x）=x2﹣2（a+1）x+4a
∴f'（3）=9﹣6（a+1）+4a=0得
∵解得：b=﹣4
（II）∵f'（x）=x2﹣2（a+1）x+4a=（x﹣2a）（x﹣2）
令f'（x）=0，即x=2a或x=2．
当a＞1时，2a＞2，
∴f'（x）＞0时，x＞2a或x＜2，即f（x）的单调递增区间为（﹣∞，2）和（2a，+∞）．
当a=1时，f'（x）=（x﹣2）2≥0，即f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）．
当a＜1时，2a＜2，∴f'（x）＞0时，x＜2a或x＞2，
即f（x）的单调递增区间为（﹣∞，2a）和（2，+∞）．
（Ⅲ）由题意可得：
∴（2a﹣1）（2a+1）＜0
∴
∴a的取值范围

练习册系列答案
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设定义在R上的函数f（x）满足（1）当m，n∈R时，f（m+n）=f（m）•f（n）；（2）f（0）≠0；（3）当x＜0时，f（x）＞1，则在下列结论中：
①f（a）•f（-a）=1；
②f（x）在R上是递减函数；
③存在x0，使f（x0）＜0；
④若f(2)=
2
，则f(
1
4
)=
1
4
，f(
1
6
)=
1
6
；
正确结论的个数是（　　）
已知向量
OA
=(sinwx，coswx)，
OB
=(
3
coswx，coswx)，其中0＜ω＜2，设函数f(x)=
OA
•
OB
．
（1）若f（x）的最小正周期为2π，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数f（x）图象的一条对称轴为x=
π
6
，求w的值．
（2011•顺义区二模）设函数f(x)=
ax
x2+b
(a＞0)．
（1）若函数f（x）在x=-1处取得极值-2，求a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间（-1，1）内单调递增，求b的取值范围；
（3）在（1）的条件下，若P（x0，y0）为函数f(x)=
ax
x2+b
图象上任意一点，直线l与f（x）的图象切于点P，求直线l的斜率的取值范围．
（2011•武昌区模拟）设函数f（x）=2x3-3（a+3）x2+18ax-8a，x∈R．
（Ⅰ）当a=-1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当方程f（x）=0有三个不等的正实数解时，求实数a的取值范围．
（2013•普陀区一模）设函数f（x）和x都是定义在集合
2
上的函数，对于任意的
2
x，都有x成立，称函数x与y在l上互为“l函数”．
（1）函数f（x）=2x与g（x）=sinx在M上互为“H函数”，求集合M；
（2）若函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）与g（x）=x+1在集合M上互为“x函数”，求证：a＞1；
（3）函数m与m在集合M={x|x＞-1且x≠2k-3，k∈N*}上互为“m函数”，当m时，m，且m在m上是偶函数，求函数m在集合M上的解析式．

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