Question

已知向量

OA

=(sinwx，coswx)，

OB

=(

3

coswx，coswx)，其中0＜ω＜2，设函数f(x)=

OA

•

OB

．
（1）若f（x）的最小正周期为2π，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数f（x）图象的一条对称轴为x=

π

6

，求w的值．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积的公式求得f（x）=cos(2wx-

π

3

)，根据它的周期求出w=

1

2

，再由x-

π

3

∈[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，求出x的范围，即可求得f（x）的单调递减区间．
（2）由f（x）图象的一条对称轴为x=

π

6

，可得2w×

π

6

-

π

3

=kπ，k∈Z，再根据0＜w＜2，求出w的值．

解答：解：由题意得f(x)=

OA

•

OB

=

3

sinwx•coswx+cos2wx
=

3

2

sin2wx+

cos2wx+1

2

=

3

2

sin2wx+

1

2

cos2wx+

1

2

=cos(2wx-

π

3

)+

1

2

．
（1）若f（x）的最小正周期为2π，则T=

2π

2w

=2π，所以w=

1

2

．
则f(x)=cos(x-

π

3

)+

1

2

，又因为cosx的单调递减区间为[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，
所以当x-

π

3

∈[2kπ，2kπ+π]，k∈Z时，为f（x）的单调递减区间，所以f（x）的单调递减区间为[2kπ+

π

3

，2kπ+

4π

3

]，k∈Z．
（2）若f（x）图象的一条对称轴为x=

π

6

，则由题意可得2w×

π

6

-

π

3

=kπ，k∈Z，
即w=3k+1，k∈Z；
又因为0＜w＜2，所以只有当k=0时成立，所以w=1．

点评：本题主要考查余弦函数的对称性、周期性及单调性的应用，两个向量的数量积的运算，属于中档题．