Question

设f（2^x）=x²+bx+c（b，c∈R），（x∈[0，+∞））
（1）求函数f（x）的解析式和定义域；
（2）若f（1）=1，求函数f（x）在x∈[1，4]时的最大值g（b），并求函数g（b）的最小值．

Answer 1

分析：（1）用换元法求f（x）的解析式，设2^x=t，求出x，代入f（2^x）的解析式，即得所求；
（2）求f（x）的导数f′（x），利用导数求出f（x）在x∈[1，4]时的最大值g（b）的表达式，从而求出g（b）的最小值．

解答：解：（1）∵f（2^x）=x²+bx+c（b，c∈R），（x∈[0，+∞））；
设2^x=t，则t≥1，∴x=log₂t，
∴f（t）=(log2t)2+blog₂t+c，
即f（x）=(log2x)2+blog₂x+c，定义域为[1，+∞）；
（2）∵f（1）=1，∴c=1，
∴f（x）=(log2x)2+blog₂x+1，其中x∈[1，4]；
∴f′（x）=2log₂x•

1

xln2

+

b

xln2

=

2log2x+b

xln2

，
∵x∈[1，+4]，
∴xln2＞0，2log₂x+b=0；
∴x=2-

b

2

，且1≤2-

b

2

≤4，得-4≤b≤0，
∴f（x）在x∈[1，4]时的最大值：
g（b）=f（2-

b

2

）=(-

b

2

)2+b•（-

b

2

）+1=-

b2

4

+1，
当b=-4时，g（b）的最小值是g（b）_min=g（-4）=-

16

4

+1=-3．

点评：本题考查了如何求函数的解析式与定义域，以及利用导数求函数在某一区间上的最值问题，是综合题．