Question

（本小题满分14分）已知函数

（1）判断的单调性；

（2）求函数的零点的个数；

（3）令，若函数在内有极值，求实数的取值范围。

Answer 1

（1）（0，+∞）上单调递增；（2）两个；（3）

【解析】

试题分析：（1）设φ（x）= ，其中（x＞0），

∴φ（x）在（0，+∞）上单调递增

（2）∵φ（1）=-1＜0，φ（2）=3- ＞0，有φ（x）在（0，+∞）上单调递增，

故φ（x）在（1，2）内有唯一零点，显然x=0为f(x)的一个零点

又 ，显然x=0为f(x)的一个零点，

因此y=f（x）在（0，+∞）有且仅有两个零点

（3） ，

则 ，

设 ，则h(x)=0有两个不同的根 ，且有一根在 内，

不妨设， 由于 ，所以 ，

由于h(0）=1，故只需h（）＜0即可，即 ，

解得 .

考点：利用导数研究函数的单调性，极值，闭区间上的最值