Question

在极坐标系中，已知点A(2，π)，B(2，

π

2

)，C是曲线ρ=2cosθ上任意一点，则△ABC的面积的最小值等于

 

．

Answer 1

分析：A（-2，0 ），B（0，2 ），曲线即 （x-1）²+y²=1，表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线AB的距离等于

|1-0+2|

2

=

3 2

2

，故圆上的点到直线AB的距离的最小值等于

3 2

2

-1，从而得到△ABC的面积的最小值．

解答：解：A （-2，0 ），B（0，2 ），曲线ρ=2cosθ 即 ρ²=2ρcosθ，即 （x-1）²+y²=1，
表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆．  直线AB的方程为

x

-2

+

y

2

=1，即  x-y+2=2，
圆心到直线AB的距离等于

|1-0+2|

2

=

3 2

2

，故圆上的点到直线AB的距离的最小值等于

3 2

2

-1，
则△ABC的面积的最小值等于

1

2

×2

2

×（

3 2

2

-1）=3-

2

，
故答案为3-

2

．

点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，得到圆上的点到直线AB的距离的最小值等于

3 2

2

-1，是解题的关键．