题目内容

已知平面内三个已知点A（1，7），B（0，0），C（8，3），D为线段BC上的一点，且有(
BA
+
CA
+
DA
)⊥
BC
，求点D的坐标．
分析：利用三点共线设出
BD
的坐标，进而得到D的坐标，以及
DA
的坐标，由(
BA
+
CA
+
DA
)⊥
BC
，(
BA
+
CA
+
DA
)•
BC
=0，解出点D的坐标．
解答：解：由已知
BC
=(8，3)，因为点D在线段BC上，所以，
BD
=λ
BC
=(8λ，3λ)，
又因为B（0，0），所以，D（8λ，3λ），所以，
DA
=(1-8λ，7-3λ)，
又
BA
=(1，7)，
CA
=(-7，4)，所以，
BA
+
CA
+
DA
=(-5-8λ，18-3λ)，
又(
BA
+
CA
+
DA
)⊥
BC
，所以，(
BA
+
CA
+
DA
)•
BC
=0，
即14-73λ=0，λ=
14
73
，
所以，D(
112
73
，
42
73
)
点评：本题考查三点共线时，向量的表示，两个向量坐标形式的运算，以及两个向量垂直时数量积等于0．
练习册系列答案
相关题目
已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足
PA
+
PB
+
PC
=
AB
，则点P与△ABC的关系为（　　）
A、P在△ABC内部
B、P在△ABC外部
C、P在AB边所在直线上
D、P是AC边的一个三等分点
12、给定下列四个命题：
（1）给定空间中的直线l及平面α，“直线l与平面α内无数条直线垂直”是“直线l与平面α垂直”的充分不必要条件；
（2）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件；
（3）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β；
（4）在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是60°．
上述命题中，真命题的序号是（　　）
已知点A，B，C是不在同一直线上的三个点，O是平面ABC内一定点，P是△ABC内的一动点，若
OP
-
OA
=λ(
AB
+
1
2
BC
)，λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定过△ABC的（　　）
A、外心B、内心C、重心D、垂心
如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的东北方向20
2
km处，B岛在O岛的正东方向10km处．
（1）以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，1km为单位长度，建立平面直角坐标系，试写出A、B的坐标，并求A、B两岛之间的距离；
（2）已知在经过O、A、B三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一船在O岛的南偏西30°方向距O岛20km处，正沿东北方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
（2012•福建模拟）已知F1（-1，0），F2（1，0）为平面内的两个定点，动点P满足|PF1|+|PF2|=2
2
，记点P的轨迹为曲线Γ．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）设点O为坐标原点，点A，B，C是曲线Γ上的不同三点，且
OA
+
OB
+
OC
=
0
．
（ⅰ）试探究：直线AB与OC的斜率之积是否为定值？证明你的结论；
（ⅱ）当直线AB过点F1时，求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积．

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