Question

19．若方程$2log_2^x-log_2^{（{x-1}）}$=m+1有两个解，则实数m的取值范围是（1，+∞）．

Answer 1

分析 据对数的真数大于0求出定义域，利用对数的运算法则转化成x²-2^m+1x+2^m+1=0．方程在x＞1时有两个解，解方程即可．

解答 解：由题得$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$得x＞1．
又∵2log₂x-log₂（x-1）=log₂（$\frac{{x}^{2}}{x-1}$）=m+1，
∴可得$\frac{{x}^{2}}{x-1}$=2^m+1，即x²-2^m+1x+2^m+1=0．方程在x＞1时有两个解，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{m}＞1}\\{1-{2}^{m+1}+{2}^{m+1}＞0}\\{△={2}^{2m+2}-4•{2}^{m}+1＞0}\end{array}\right.$，解得m＞1
所以实数m的取值范围是：（1，+∞）
故答案为：（1，+∞）．

点评 本题考查对数的真数大于0、对数的运算法则、二次方程的解法，解题过程中要注意对数的定义域，属于中档题．