题目内容

P为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，若使△F1PF2为直角三角形的点P共有8个，则椭圆离心率的取值范围是
（
2
2
，1）
（
2
2
，1）
．
分析：由于分别过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆的交点P可构成四个直角三角形．欲使△F1PF2为直角三角形的点P共有8个，由椭圆的几何性质可知，当点P位于（0，b）或（0，-b）处时，∠F1PF2最大，必须∠F1PF2＞90°，此时 cos∠F1PF2=
a2+a2-4c2
2a2
=
a2-2c2
a2
＜0，∴a＜
2
c，由此能够推导出该椭圆的离心率的取值范围．
解答：解：由题意可知，分别过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆的交点P可构成四个直角三角形．
而当点P位于（0，b）或（0，-b）处时，∠F1PF2最大，
由条件：欲使△F1PF2为直角三角形的点P共有8个，必须∠F1PF2＞90°，
故 cos∠F1PF2=
a2+a2-4c2
2a2
=
a2-2c2
a2
＜0，⇒a＜
2
c，
∴e=
c
a
＞
2
2
，
又∵0＜e＜1，∴1＞e＞
2
2
．
故答案为：(
2
2
，1)．
点评：本题考查椭圆的性质及其应用、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+
2
=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足
OA
+
OB
=t
OP
（O为坐标原点），当|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
时，求实数t取值范围．
在平面直角坐标系中，定义以原点为圆心，以
a2+b2
为半径的圆O为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的“准圆”．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为
3
3
，直线l：2x-y+5=0与椭圆C的“准圆”相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）P为椭圆C的右准线上一点，过点P作椭圆C的“准圆”的切线段PQ，点F为椭圆C的右焦点，求证：|PQ|=|PF|
（3）过点M(-
6
5
，0)的直线与椭圆C交于A，B两点，为Q椭圆C的左顶点，是否存在直线l使得△QAB为直角三角形？
定义：离心率e=
5
-1
2
的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点为F（c，0）（c＞0），P为椭圆E上的任意一点．
（1）试证：若a，b，c不是等比数列，则E一定不是“黄金椭圆”；
（2）没E为黄金椭圆，问：是否存在过点F、P的直线l，使l与y轴的交点R满足
RP
=-2
PF
？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由；
（3）已知椭圆E的短轴长是2，点S（0，2），求使
SP
2取最大值时点P的坐标．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），且a、b、c成等比数列．
（1）求随圆c的离心率e；
（2）若P为椭圆c上一点，是否存在过点F2、P的直线l，使l与y轴的交点Q满足
PQ
=2
PF2
？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，说明理由．
以下五个命题中：
①若两直线平行，则两直线斜率相等；
②设F1、F2为两个定点，a为正常数，且||PF1|-|PF2||=2a，则动点P的轨迹为双曲线；
③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④对任意实数k，直线l：kx-y+1-k=0与圆x2+y2-2y-4=0的位置关系是相交；
⑤P为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一点，F为它的一个焦点，则以PF为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．
其中真命题的序号为
③④⑤
③④⑤
．（写出所有真命题的序号）

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