题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+
2
=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足
OA
+
OB
=t
OP
（O为坐标原点），当|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
时，求实数t取值范围．
分析：（Ⅰ）由题意知e=
c
a
=
2
2
，所以e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
=
1
2
．由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由
y=k(x-2)
x2
2
+y2=1.
得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0再由根的判别式和嘏达定理进行求解．
解答：解：（Ⅰ）由题意知e=
c
a
=
2
2
，所以e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
=
1
2
．
即a2=2b2．（2分）
又因为b=
2
1+1
=1，所以a2=2，
故椭圆C的方程为
x2
2
+y2=1．（4分）
（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），
由
y=k(x-2)
x2
2
+y2=1.
得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0．△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，k2＜
1
2
．（6分）
x1+x2=
8k2
1+2k2
，x1•x2=
8k2-2
1+2k2
∵
OA
+
OB
=t
OP
∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），
∴x=
x1+x2
t
=
8k2
t(1+2k2)
，y=
y1+y2
t
=
1
t
[k(x1+x2)-4k]=
-4k
t(1+2k2)

∵点P在椭圆上，∴
(8k2)2
t2(1+2k2)2
+2
(-4k)2
t2(1+2k2)2
=2，∴16k2=t2（1+2k2）．（8分）
∵|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
，∴
1+k2
|x1-x2|＜
2
5
3
，∴(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]＜
20
9

∴(1+k2)[
64k4
(1+2k2)2
-4•
8k2-2
1+2k2
]＜
20
9
，∴（4k2-1）（14k2+13）＞0，∴k2＞
1
4
．（10分）
∴
1
4
＜k2＜
1
2
，∵16k2=t2（1+2k2），∴t2=
16k2
1+2k2
=8-
8
1+2k2
，
∴-2＜t＜-
2
6
3
或
2
6
3
＜t＜2，∴实数t取值范围为(-2，-
2
6
3
)∪(
2
6
3
，2)．（12分）
点评：本题考查椭圆方程的求法和求实数t取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用根的判别式和韦达定理进行解题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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